Prędkośćdefiniuje się jako prędkość obiektu w danym kierunku. W wielu typowych sytuacjach, aby znaleźć prędkość, używamy równania v = s / t, gdzie v równa się prędkości, s równa się całkowitemu przemieszczeniu z pozycji początkowej obiektu, at równa się czasowi, który upłynął. Jednak to technicznie daje tylko obiekt średni prędkość na jego drodze. Za pomocą rachunku różniczkowego można obliczyć prędkość obiektu w dowolnym momencie na jego drodze. To się nazywa chwilowa prędkość i jest określone równaniem v = (ds) / (dt) lub, innymi słowy, pochodna obiektuŚrednia prędkośćrównanie.
Kroki
Część jeden z 3: Obliczanie prędkości chwilowej
- jeden Zacznij od równania określającego prędkość w kategoriach przemieszczenia. Aby uzyskać chwilową prędkość obiektu, najpierw musimy mieć równanie, które mówi nam o jego położeniu (pod względem przemieszczenia) w określonym momencie. Oznacza to, że równanie musi mieć zmienną s z jednej strony sam i t z drugiej (ale niekoniecznie samodzielnie), na przykład:
s = -1,5t2+ 10t + 4
30 za 30 strumieni xfl
- W tym równaniu zmiennymi są:
- Przemieszczenie = s . Odległość, jaką obiekt przebył od pozycji wyjściowej. Na przykład, jeśli obiekt przesunie się 10 metrów do przodu i 7 metrów do tyłu, jego całkowite przemieszczenie wyniesie 10 - 7 = 3 metry (nie 10 + 7 = 17 metrów).
- Czas = t . Nie wymaga wyjaśnienia. Zwykle mierzone w sekundach.
- W tym równaniu zmiennymi są:
- 2 Weź pochodną równania. Plikpochodnarównania to po prostu inne równanie, które mówi ci o jego nachyleniu w dowolnym momencie. Aby znaleźć pochodną swojego wzoru na przesunięcie, rozróżnij funkcję za pomocą tej ogólnej zasady znajdowania pochodnych: Jeśli y = a * xn, Pochodna = a * n * xn-1 Ta reguła jest stosowana do każdego wyrazu po stronie „t” równania.
- Innymi słowy, zacznij od przejrzenia strony „t” równania od lewej do prawej. Za każdym razem, gdy osiągniesz „t”, odejmij 1 od wykładnika i pomnóż cały wyraz przez pierwotny wykładnik. Wszelkie stałe wyrazy (wyrazy niezawierające „t”) znikną, ponieważ zostaną pomnożone przez 0. Ten proces nie jest w rzeczywistości tak trudny, jak się wydaje - wyprowadźmy jako przykład równanie z powyższego kroku:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10tjedenaście+ (0) 4 szt0
-3тjeden+ 10t0
-3t + 10
- Innymi słowy, zacznij od przejrzenia strony „t” równania od lewej do prawej. Za każdym razem, gdy osiągniesz „t”, odejmij 1 od wykładnika i pomnóż cały wyraz przez pierwotny wykładnik. Wszelkie stałe wyrazy (wyrazy niezawierające „t”) znikną, ponieważ zostaną pomnożone przez 0. Ten proces nie jest w rzeczywistości tak trudny, jak się wydaje - wyprowadźmy jako przykład równanie z powyższego kroku:
- 3 Zamień „s” na „ds / dt. Aby pokazać, że nasze nowe równanie jest pochodną pierwszego, zastępujemy „s” notacją „ds / dt”. Z technicznego punktu widzenia zapis ten oznacza „pochodną s względem t”. Prostszym sposobem myślenia o tym jest po prostu to, że ds / dt jest po prostu nachyleniem dowolnego punktu w pierwszym równaniu. Na przykład, aby znaleźć nachylenie linii utworzonej przez s = -1,5t2+ 10t + 4 przy t = 5, po prostu wstawilibyśmy „5” do t w jego pochodnej.
- W naszym przykładzie bieżącym nasze gotowe równanie powinno teraz wyglądać następująco:
ds / dt = -3t + 10
- W naszym przykładzie bieżącym nasze gotowe równanie powinno teraz wyglądać następująco:
- 4 Podłącz wartość t do nowego równania, aby znaleźć prędkość chwilową. Teraz, gdy masz już swoje równanie pochodne, znalezienie prędkości chwilowej w dowolnym momencie jest łatwe. Wszystko, co musisz zrobić, to wybrać wartość t i podłączyć ją do równania pochodnego. Na przykład, jeśli chcemy znaleźć prędkość chwilową przy t = 5, podstawilibyśmy po prostu „5” zamiast t w pochodnej ds / dt = -3 + 10. Następnie rozwiązalibyśmy równanie w następujący sposób:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metrów / sekundę- Zwróć uwagę, że powyżej używamy etykiety „metry / sekundę”. Ponieważ mamy do czynienia z przemieszczeniem w metrach i czasie w sekundach, a prędkość w ogólności jest po prostu przemieszczeniem w czasie, ta etykieta jest odpowiednia.
Część 2 z 3: Graficzne szacowanie prędkości chwilowej
- jeden Wykreśl przemieszczanie się obiektu w czasie. W powyższej sekcji wspomnieliśmy, że pochodne to tylko formuły, które pozwalają nam znaleźć nachylenie w dowolnym punkcie równania, dla którego bierzesz pochodną. W rzeczywistości, jeśli reprezentujesz przemieszczenie obiektu linią na wykresie, nachylenie linii w dowolnym punkcie jest równe chwilowej prędkości obiektu w tym punkcie.
- Aby wykreślić przemieszczenie obiektu, użyj osi x do przedstawienia czasu i osi y do przedstawienia przemieszczenia. Wtedy po prostupunkty wykresupodłączając wartości t do równania przemieszczenia, uzyskując wartości s dla swoich odpowiedzi i zaznaczając punkty t, s (x, y) na wykresie.
- Zauważ, że wykres może rozciągać się poniżej osi x. Jeśli linia reprezentująca ruch obiektu spada poniżej osi x, oznacza to, że obiekt porusza się za miejscem, w którym się rozpoczął. Generalnie wykres nie będzie wychodził poza oś y - rzadko mierzymy prędkość obiektów poruszających się wstecz w czasie!
- 2 Wybierz jeden punkt P i punkt Q, który jest blisko niego na linii. Aby znaleźć nachylenie linii w jednym punkcie P, używamy sztuczki zwanej „braniem limitu”. Wyznaczenie granicy polega na wzięciu dwóch punktów (P plus Q, punkt w pobliżu) na zakrzywionej linii i ciągłym znajdowaniu nachylenia linii łączącej je w miarę zmniejszania się odległości między P i Q.
- Powiedzmy, że nasza linia przemieszczenia zawiera punkty (1,3) i (4,7). W tym przypadku, jeśli chcemy znaleźć nachylenie w (1,3), możemy ustawić (1,3) = P i (4,7) = Q .
- 3 Znajdź nachylenie między P i Q. Nachylenie między P i Q jest różnicą wartości y dla P i Q w stosunku do różnicy wartości x dla P i Q. Innymi słowy, H = (iQ- YP.) / (xQ- xP.) , gdzie H jest nachyleniem między dwoma punktami. W naszym przykładzie nachylenie między P i Q wynosi:
H = (iQ- YP.) / (xQ- xP.)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
- 4 Powtórz kilka razy, przesuwając Q bliżej do P. Twoim celem jest zmniejszenie odległości między P i Q, aż zbliży się do jednego punktu. Im mniejsza odległość między P i Q, tym bliżej nachylenia twoich małych odcinków linii będzie nachylenie w punkcie P. Zróbmy to kilka razy dla naszego przykładowego równania, używając punktów (2,4,8), (1,5 , 3,95) i (1,25,3,49) dla Q i nasz pierwotny punkt (1,3) dla P:
Q = (2, 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (. 5) = 1.9
Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96jak ponownie chwycić rakietę tenisową
- 5 Oszacuj nachylenie dla nieskończenie małego odstępu na linii. Kiedy Q zbliża się coraz bardziej do P, H będzie coraz bliżej nachylenia w punkcie P. W końcu, w nieskończenie małym odstępie, H będzie równe nachyleniu w P. Ponieważ nie jesteśmy w stanie zmierzyć ani obliczyć nieskończenie mały przedział, po prostu szacujemy nachylenie w punkcie P, gdy jest to jasne z punktów, które wypróbowaliśmy.
- W naszym przykładzie, gdy przesunęliśmy Q bliżej P, otrzymaliśmy wartości 1,8, 1,9 i 1,96 dla H. Ponieważ te liczby wydają się zbliżać do 2, możemy powiedzieć, że 2 jest dobrym oszacowaniem nachylenia przy P.
- Pamiętaj, że nachylenie w danym punkcie na prostej jest równe pochodnej równania prostej w tym punkcie. Ponieważ nasza linia pokazuje przemieszczenie naszego obiektu w czasie i, jak widzieliśmy w powyższej sekcji, chwilowa prędkość obiektu jest pochodną jego przemieszczenia w danym punkcie, możemy również powiedzieć, że 2 metry / sekundę jest dobrym oszacowaniem prędkości chwilowej w chwili t = 1.
Część 3 z 3: Przykładowe problemy
- jeden Znajdź prędkość chwilową w momencie t = 4, biorąc pod uwagę równanie przemieszczenia s = 5t3- 3t2+ 2t + 9. Jest to podobne do naszego przykładu z pierwszej sekcji, z tym wyjątkiem, że mamy do czynienia z równaniem sześciennym, a nie z równaniem kwadratowym, więc możemy rozwiązać to w ten sam sposób.
- Najpierw weźmiemy pochodną naszego równania:
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1)- (2) 3 szt(dwadzieścia jeden)+ (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2)- 6t(jeden)+ 2t(0)
15t(2)- 6t + 2 - Następnie podstawimy naszą wartość dla t (4):
s = 15t(2)- 6t + 2
15 (4)(2)- 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metrów / sekundę
- Najpierw weźmiemy pochodną naszego równania:
- 2 Użyj estymacji graficznej, aby znaleźć chwilową prędkość w (1,3) dla równania przemieszczenia s = 4t2- t. W tym przypadku użyjemy (1,3) jako naszego punktu P, ale będziemy musieli znaleźć kilka innych punktów w pobliżu, aby użyć ich jako naszych punktów Q. Następnie wystarczy znaleźć nasze wartości H i dokonać oszacowania.
- Najpierw znajdźmy punkty Q przy t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
s = 4t2- t
t = 2: s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, więc Q = (2,14)
t = 1,5: s = 4 (1,5)2- (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, a więc Q = (1,5; 7,5)
t = 1,1: s = 4 (1,1)2- (1, 1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, a więc Q = (1,1; 0,74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2- (1,01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, więc Q = (1,01,3,0704) - Następnie pobierzmy nasze wartości H:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = jedenaście
Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) = 9
Q = (1,1; 0,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1,01,3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04 - Ponieważ nasze wartości H wydają się zbliżać się do 7, możemy to powiedzieć 7 metrów / sekundę jest dobrym oszacowaniem prędkości chwilowej w (1,3).
- Najpierw znajdźmy punkty Q przy t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
Pytania i odpowiedzi społeczności
Szukaj Dodaj nowe pytanie- Pytanie Jaka jest różnica między prędkością chwilową a średnią? Chwilowy jest w tym momencie, podczas gdy średnia jest średnią z całego przedziału czasu.
- Pytanie Jak obliczyć przyspieszenie chwilowe? Przyspieszenie chwilowe można uznać za wartość pochodnej prędkości chwilowej. Na przykład: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Jeśli chcemy poznać przyspieszenie chwilowe w t = 4, a następnie a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
- Pytanie Kiedy prędkość chwilowa i prędkość średnia są takie same? Prędkość chwilowa mówi o prędkości obiektu w jednym momencie. Jeśli obiekt porusza się ze stałą prędkością, wówczas prędkość średnia i prędkość chwilowa będą takie same. Nie we wszystkich sytuacjach prawdopodobnie nie będą takie same.
- Jak znaleźć prędkość zerową między dwoma czasami? Odpowiedź
- Jak mogę znaleźć prędkość zerową między dwoma czasami? Odpowiedź
- Jak obliczyć 5t + 12t ^ 2? Odpowiedź
Reklama
Wideo . Korzystając z tej usługi, niektóre informacje mogą zostać udostępnione YouTube.
Porady
- Aby znaleźć przyspieszenie (zmianę prędkości w czasie), użyj metody z części pierwszej, aby otrzymać równanie pochodne dla swojej funkcji przemieszczenia. Następnie weź inną pochodną, tym razem swojego równania pochodnego. To da ci równanie na obliczenie przyspieszenia w danym momencie - wszystko, co musisz zrobić, to podłączyć wartość czasu.
- Równanie odnoszące Y (przemieszczenie) do X (czas) może być bardzo proste, jak na przykład Y = 6x + 3. W tym przypadku nachylenie jest stałe i nie jest konieczne znajdowanie pochodnej, aby znaleźć nachylenie, czyli zgodnie z podstawowym modelem Y = mx + b dla grafów liniowych, 6.
- Przemieszczenie jest jak odległość, ale ma ustalony kierunek, co sprawia, że przemieszczenie jest wektorem, a prędkość skalarem. Przemieszczenie może być ujemne, podczas gdy odległość będzie tylko dodatnia.
Reklama Prześlij wskazówkę Wszystkie przesłane wskazówki są dokładnie sprawdzane przed ich opublikowaniem. Dziękujemy za przesłanie wskazówki do sprawdzenia!
